В алгебре существуют две важные формулы, связывающие квадраты чисел или выражений:
Содержание
Формулы суммы и разности квадратов
| Название формулы | Алгебраическое выражение | Развернутая форма |
| Сумма квадратов | a² + b² | Не раскладывается на множители в вещественных числах |
| Разность квадратов | a² - b² | (a - b)(a + b) |
Подробное рассмотрение разности квадратов
Формула разности квадратов является одной из основных формул сокращенного умножения:
a² - b² = (a - b)(a + b)
Пример применения:
25 - 16 = (5 - 4)(5 + 4) = 1 × 9 = 9
Свойства суммы квадратов
- Сумма квадратов всегда неотрицательна: a² + b² ≥ 0
- В комплексных числах может быть представлена как: a² + b² = (a + bi)(a - bi)
- Используется в теореме Пифагора для прямоугольных треугольников
Геометрическая интерпретация
Разность квадратов можно представить как разность площадей двух квадратов со сторонами a и b:
- Площадь большого квадрата: a²
- Площадь малого квадрата: b²
- Разность площадей: a² - b²
- Фигура может быть преобразована в прямоугольник со сторонами (a+b) и (a-b)
Применение формул
| Область применения | Пример использования |
| Алгебра | Упрощение выражений, решение уравнений |
| Геометрия | Вычисление площадей, доказательство теорем |
| Физика | Кинематические расчеты, энергетические соотношения |
Важное замечание
Не следует путать сумму квадратов с квадратом суммы: (a + b)² = a² + 2ab + b². Это совершенно разные выражения с различными свойствами.
Дополнительные формулы
Связанные формулы, которые часто используются вместе:
- Квадрат суммы: (a + b)² = a² + 2ab + b²
- Квадрат разности: (a - b)² = a² - 2ab + b²
- Сумма кубов: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
- Разность кубов: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
